Algèbre linéaire Exemples

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

Étape 1

Soustrayez $16 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ par $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Divisez $144$ par $9$ .

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Étape 2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{9}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$ .

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Étape 4.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $\frac{16 x^{2}}{9}$ comme ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = \frac{4 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.3

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.4

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.6

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 3 + 4 x$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 (x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (3) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.7

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.8

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 4 x}{3}}$

Étape 4.10

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 3 - 4 x$ .

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Étape 4.10.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) - 4 x}{3}}$

Étape 4.10.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) + 4 (- x)}{3}}$

Étape 4.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (3) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3 - x)}{3}}$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{4 (3 + x)}{3}$ par $\frac{4 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (4 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.12

Multipliez.

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Étape 4.12.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.12.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

Étape 4.13

Réécrivez $\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}$ comme ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Étape 4.13.1

Factorisez la puissance parfaite ${(2^{2})}^{2}$ dans $16 (3 + x) (3 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Étape 4.13.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Étape 4.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Étape 4.15

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Étape 4.16

Associez $\frac{4}{3}$ et $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 6

Définissez le radicande dans $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Étape 7.2

Définissez $3 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Définissez $3 + x$ égal à $0$ .

$3 + x = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7.3

Définissez $3 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $3 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 7.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 7.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 7.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 7.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 7.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 3, 3$

Étape 7.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Étape 7.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 7.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Étape 7.6.1.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Étape 7.6.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Étape 7.6.3.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 7.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 \leq x \leq 3$

Étape 8

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 3, 3]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Étape 9